Prepnúť do nočného režimu
Prepnúť do denného režimu
Utorok 15. 10. 2019 meniny má Terézia

hľadaj na refresheri

Uložený článok nájdeš
v ponuke používateľa.
Odporúčame zapnúť browser notifikácie, ak budeš prihlásený na Refresher s týmto zariadením.
Zaujímavosti - Ľudia
41
Matúš Majer
18. jún 2016, 18:41

Hilbertov paradox o nekonečnom hoteli alebo všetky nekonečná nie sú rovnaké

Nekonečný hotel má ubytovaných nekonečno ľudí. No čo ak príde ďalší hosť?

Matúš Majer
18. jún 2016, 18:41
Hilbertov paradox o nekonečnom hoteli alebo všetky nekonečná nie sú rovnaké
Musíš byť prihlásený/á , aby si mohol uložiť článok.
Nepodařilo se uložit změny. Zkus se nově přihlásit a zopakovat akci.

V prípade že problémy pretrvávajú, kontaktuj prosím administrátora.
OK
41
Uložiť na neskôr.
Uložený článok nájdeš
v ponuke používateľa.

Letné prázdniny sa (našťastie) veľmi rýchlo približujú a s nimi sú spojené aj dovolenky a ubytovania v rôznych hoteloch. Komu by sa nepáčil päťhviezdičkový hotel na pláži na vašom vysnívanom mieste? Napriek tomu sa dnes nebudeme venovať cestovnému ruchu ani ubytovaniu, ale niečomu, čo fascinuje ľudí už oddávna - nekonečno.

 

Nemec David Hilbert (1862 - 1943) bol jedným z najzaslúženejších matematikov vtedajšej doby. Okrem mimoriadneho úspechu na mnohých poliach predniesol niečo, čo sa dnes označuje ako Hilbertov paradox. Vďaka nemu zjednodušil pojem nekonečna a v hlave si postavil naozaj veľký hotel.

 

Hilbertov paradox o nekonečnom hoteli alebo všetky nekonečná nie sú rovnaké

 

Nekonečno

 

Najprv však pár jednoduchých faktov o nekonečne. Je zaujímavé, že sa o ňom každý vyjadruje ako o čísle, no na číselnej osi sa skrátka nenachádza. Vieme len, že je niekde ďaleko vpravo na konci osi a potom ešte kúsok. No a to je prvá chyba. Nekonečno je číselná os celá - všetky tie celé čísla ako 5, 6, 7, 8..., je ich tam skrátka nekonečno. To je prvé nekonečno, o ktorom vieme spoľahlivo hovoriť, že nemá koniec, kedže nech napíšeme akékoľvek číslo, vieme k nemu vždy pridať jednotku (n+1). Mimochodom, tomuto typu nekonečna sa hovorí spočítateľné alebo "countable infinity".

Hilbertov paradox o nekonečnom hoteli alebo všetky nekonečná nie sú rovnaké

 

Určite každému teraz napadne, že existuje ešte viac hardcore level nekonečna. Na číselnej osi sú medzi celými číslami prázdne kúsky, v ktorých sú čísla s desatinnou čiarkou. A tých je tam nekonečno. V nekonečnom počte prázdnych kúskov medzi dvomi celými číslami. To sa zdá ako nekonečno2 alebo nekonečnonekonečno ale to, že ide len o to bežné nekonečno, vysvetlíme neskôr.

 

My si však dovolíme ešte priliať do ohňa a spýtame sa - napíš všetky čísla od nuly. Prvá bude teda nula. Ale čo nasleduje? Bude to 0.0001? Alebo snáď 0.00000001? Možností je nekonečno. Toto je zasa nespočítateľné nekonečno, alebo kontinuum.

 

Na záver krátkeho informačného okienka ešte posledná vec a potom už bude hotel, sľubujeme. Ak máš kôpku 7 cukríkov a jeden tam pridáš, máš ich 8, to by mala väčšina ľudí akceptovať. No ak máš nekonečno cukríkov a k tomu pridáš cukrík, nemáš ∞ + 1 cukríkov, ale iba ∞, kedže ako sme si ukázali vyššie, nekonečno nie je číslo, nemožno k nemu pridávať. Detto ∞ krát ∞ je stále ∞.

 

Nekonečný hotel

 

Hilbertov paradox o nekonečnom hoteli alebo všetky nekonečná nie sú rovnaké

 

Ujo Hilbert má hotel s nekonečným počtom izieb a ubytováva nekonečný počet hostí. Dve nekonečná sú si rovné a teda v každej izbe je jeden hosť. Izby sú označené číslami (1, 2...) a všetci hostia sú spokojní, no v tom na dvere zaklope muž, ktorý chce ďalšiu izbu. Čo teraz? Veď všetky izby sú obsadené, každé číslo má svojho hosťa. Koniec chodby s izbami nie je a Hilbert kvôli tomu nemá ako nového hosťa poslať na koniec chodby. S potenciálnym zákazníkom to veľmi dobre teda nevyzerá. Ale ujo Hilbert je slávny matematik a vynájde sa. Ubytovaného z izby 1 presunie do dvojky, hosťa z izby 2 do izby 3 a takto sa celý hotel presťahuje. Počet izieb je stále nekonečný, počet hostí je nekonečný a pravdepodobne bude nekonečný aj počet sťažností ubytovaných na tento nekonečne skvelý biznis.

 

Jedného hosťa teda Hilbert ubytuje a ubytoval by aj ďalších prichádzajúcich. Skrátka by všetkých hostí posunul ďalej. Čo ak však príde dovolenkový autobus s nekonečným počtom hostí? Ten totiž práve zaparkoval a tak treba veľmi rýchlo vymyslieť riešenie, ako ubytovať ďalšie nekonečno ľudí.

 

Už sme spomínali, že spočítateľné nekonečná sú rovnaké a teda ubytované nekonečno, nekonečno, ktoré sa chce dať ubytovať a aj finálne nekonečno by mali byť rovnaké. Teoreticky by sa to teda malo dať zvládnuť. Najprv si však dovolíme návrat k informačnému okienku a spýtame sa: Koľkokrát je všetkých kladných celých čísel viac ako všetkých párnych čísel?

 

Zdravý rozum a aj všetko ostatné kričí, že párnych čísel je predsa dvakrát menej, bohužiaľ je to opäť zle. Ani zoznam kladných, ani zoznam párnych čísel nemajú koniec, takže sú to obidve nekonečná - teda zhodné. Čiže existuje rovnako párnych čísel ako rovnako všetkých celých čísel. Mindblown.
Hilbert o tomto tuší, a tak presunie každého hosťa do izby s číslom dvakrát väčším ako je aktuálne číslo ubytovaného. Pán z dvojky ide na štvorku atď. Tým pádom sa uvoľní polovica všetkých izieb, kam napraceme to nekonečno, ktoré práve vystupuje z autobusu. Mimochodom, naozaj by sme nechceli bývať v izbe s číslom 682779 a sťahovať sa do dvakrát väčšieho čísla.

 

Hilbert je zrejme naozaj matematickým a logickým bohom, no chuť zákazníkov ubytovať sa v jedinečnom nekonečnom hoteli ešte stúpla, a tak na parkovisku zastalo nekonečno autobusovnekonečným počtom hostí. Kedže v minulom príklade prišlo len nekonečno, domáci musel vytvoriť nekonečno izieb. Tu však treba vytvoriť nekonečno nekonečien izieb a ujo Hilbert sa už poriadne potí. Preto zavolá svojim dvom dobrým priateľom - Georgovi Gamowovi a Albertovi Einsteinovi. Spoločne prídu na to, že to naozaj ide. Už sa nachádzame v dobe, kedy vieme, že prvočísel (číslo deliteľné len 1 a samým sebou) je nekonečno. Mocniny prvočísla majú tú peknú vlastnosť, že potom už nie sú mocninou ďalšieho iného čísla. Teda napríklad druhá mocnina čísla 11 je 121 a tá sa nedá odmocniť do iného celého čísla okrem jedenástky.


Hilbert teda umiestni všetkých už-hostí do izieb, ktorých čísla sú mocninou prvého prvočísla. To je dvojka, zákazníci sa presunú do izieb 2, 4, 8, 16, 32.... Prvý autobus z nekonečna umiestni do izieb, ktoré sú mocninou druhého prvočísla v rade, to je trojka. Obsadené sú teda izby 3, 9, 27, 81... Ďalšie prvočíslo je 5, teda sa obsadia izby 5, 25, 125... A tak ďalej.

 

A tu celý myšlienkový experiment vystupujúci pod názvami Hilbertov paradoxHilberov Grand Hotel alebo jednoducho Nekonečno izieb, končí. Hilbert ukázal, že všetky spočítateľné nekonečná sú rovnaké a akákoľvek manipulácia s nimi vždy ústi do nekonečna. David Hilbert zomrel v roku 1943 v Nemeckom Göttingene, no jeho dômyselnosť slúži dodnes každému z nás.


Prvé dve zákaznícke vlny elegantne vysvetlí aj toto video, po anglicky.

 

Hlavolam na záver. Koľko jen nekonečno delené nekonečno?
Nekonečno.
2142 hlasov
1
1243 hlasov
183 hlasov
Error.
797 hlasov
Ohodnoť článok
112
Zdieľaj článok
Hodnotenie tohto článku je dostupné len s aktívnym predplatným REFRESHER+.
Predplatiť si
Zrušiť
Pri hodnotení článku nastala chyba. Skús sa nanovo prihlásiť a znova ohodnotiť článok.

V prípade že problémy pretrvávajú, kontaktuj prosím administrátora.
OK
NAHOR
Ako neregistrovaný si prečítal už 1/40 článkov tento mesiac. Prihlás sa pre neobmedzený prístup. Ako neregistrovaný si prečítal už 1/40 článkov za mesiac. PRIHLÁSIŤ / REGISTROVAŤ PRIHLÁSIŤ
Najčítanejšie
Záleží nám na súkromí čitateľov. Práve aj z toho dôvodu ti poskytujeme detailné informácie o tom, ako využívame súbory cookies a iné technológie zabezpečujúce správne fungovanie a rozvoj stránky. Pre viac informácií si prečítaj naše Zásady ochrany osobných údajov , kde nájdeš ako používame súbory cookies, prípadne sa oboznám Podmienkami používania portálu platných od 24.5.2018. Spracovaniu cookies môžeš zabrániť, alebo zmeniť svoje preferencie v nastaveniach internetového prehliadača, prípadne pre detailnejšie nastavenie klikni na viac možností nižšie.
Upozornenie na právo nastavenia ochrany osobných údajov na Refresheri

Vzhľadom na existujúce a aj chystané zmeny v zákonoch ti dávame možnosť detailného nastavenia spracovania osobných údajov a preferencií spojených so spracovaním osobných údajov.

Prečítaj si možnosti, posuň zobrazenie nadol, nastav si svoje preferencie a klikni na tlačidlo súhlasím, keď budeš chcieť pokračovať do služieb Refresheru. Súbory cookie sú životne dôležitou súčasťou technológie v tvojom prehliadači. Sú natoľko dôležité, že ich budeme musieť použiť pre zapamätanie si toho, že si toto okno potvrdil/a, v opačnom prípade by sme ti ho museli zobrazovať znova a znova.

Údaje, ktoré spracovávame, keď používaš Refresher
Zo strany Refresheru zbierame tieto osobné údaje:
  • Keď navštíviš Refresher, uchovávame si informácie o tom, ktoré články si prečítal, identifikátory zariadenia a prehliadača, časť IP adresy, alebo IP adresu v prípade prihlásenia do účtu, súbory cookie a poloha.
  • Pri prihlásení do účtu e-mailovú adresu
Prečo zbiera Refresher tieto údaje:
  • Na zlepšenie kvality našich web stránok a vývoj nových webových služieb
  • Na vykonávanie analýz a meraní, s cieľom pochopiť, ako sú naše web stránky využívané
  • Na to, aby sme nezobrazovali obsah, ktorý si už videl
  • Pre zobrazovanie prispôsobenejší obsah, ako sú napríklad relevantnejšie články
  • Pre schopnosť identifikovať ťa ako užívateľa pri prihlasovaní do svojho účtu
Zbierame údaje pre partnerov a reklamné siete:
  • identifikátory zariadenia a prehliadača, časť IP adresy, súbory cookie a poloha.
Prečo zbierame tieto údaje pre partnerov, tretie strany a reklamné siete:
  • Na to, aby mohli fungovať a zobrazovali relevantnejšie a užitočnejšie reklamy.
Zoznam reklamných sietí a nastavenia reklám

Nevyhnutné osobné údaje - cookies - pre zobrazovanie reklám zbierame pre nasledujúce spoločnosti:

Google (Google Ireland, 3RD FLOOR ,GORDON HOUSE ,BARROW STREET, Dublin, ID: 368047)
Formulár kontakt v súvilosti s osobnými údajmi >

AdForm (AdForm Aps,Wildersgade 10B, 1. Sal., DK-1408, Copenhagen, Denmark, ID: 26434815)
Kontaktné údaje pre najbližšiu pobočku >

Seznam (Seznam.cz, a.s, Radlická 3294/10, 150 00, Praha 5, 26168685)
Kontaktné údaje pre najbližšiu pobočku >

 

Možnosť vypnúť si personalizovanie reklám a zbieranie osobných údajov pre jednotlivých partnerov:

Upraviť nastavenia typov reklám Google - personalizovanie od spoločnosti Google

Upraviť nastavenia typov reklám AdForm - personalizovanie od spoločnosti AdForm

 

Svoje nastavenia pre všetky ostatné reklamné siete, aj tie, ktoré na Refresheri nenájdeš, si vieš prezrieť na stránke youronlinechoices.com/uk/your-ad-choices

Meranie návštevnosti

Google, Služba Google Analytics (Google Ireland, 3RD FLOOR ,GORDON HOUSE ,BARROW STREET, Dublin, ID: 368047)

Vlastníci webových stránok používajú na zlepšenie funkčnosti svojich stránok údaje zhromaždené službou Google Analytics. Zhromažďovanie údajov môžete deaktivovať tak, že si stiahnete a nainštalujete doplnok pre svoj prehliadač.

Stiahnuť doplnok pre prehliadač

Gemius (Gemius s.r.o. Na Výsluní 201/13 100 00 Praha 10 Česká republika)

Spoločnosť Gemius podobne ako služba Google Analytics vyhodnocuje a meria návštevnosť na niektorých webových stránkach. Na meranie využíva Cookies, ktoré si môžeš deaktivovať vo svojom prehliadači.

Hotjar (Hotjar Limited, company number C 65490, Level 2, St Julian’s Business Centre, 3, Elia Zammit Street, St Julian’s STJ 1000, Malta)

Hotjar využívame na analýzu návštevnosti a správanie sa užívateľov. Vytvára nám mapu aktivity návštevníkov, na webových stránkach, ktoré vizualizuje a vyhodnocuje. Tieto informácie nie sú zbierané vždy, nikdy nie sú spárovateľné s aktivitami užívateľov a teda nie je možné identifikovať jednotlivcov, ale Hotjar ti môže nastaviť súbory Cookies.

Ovládacie prvky súvisiace s prehliadačom

Nastavenia súborov cookie

Súbory cookie sú životne dôležitou súčasťou technológie vo vašom prehliadači a slúžia na zlepšenie prostredia pri používaní internetu.

Ak napríklad na určitom webe nastavíte predvolený jazyk, súbory cookie pomôžu prehliadaču zapamätať si túto voľbu. Niektoré alebo všetky súbory cookie môžete tiež zablokovať, to však môže viesť k zastaveniu fungovania niektorých funkcií na internete.

Mnoho webov napríklad vyžaduje zapnuté súbory cookie vtedy, keď sa chcete prihlásiť. Informácie o tom, ako upraviť nastavenia súborov cookie, nájdete v zdrojoch pomocníka vášho prehliadača.

Zásady ochrany osobných údajov

Prečítaj si naše Zásady ochrany osobných údajov

Ďalšie informácie o tom, ako Refresher používa na zlepšenie služieb
  • Prihlasovanie - pre účely prihlasovania potrebujeme tvoju emailovú adresu.
  • Prispôsobenie - pre zistenie toho, čo ťa zaujíma, vytvárame tvoj unikátny profil. Ak nejaké informácie pozbierame, nájdeš ich vo svojich nastaveniach súkromia a profil môžeš upraviť, alebo zmeniť, alebo celé personalizovanie vymazať.
Ako zmeniť nastavenia spracovania osobných údajov?

Ak zmeníte názor, kedykoľvek tieto údaje môžete zmeniť na adrese https://refresher.sk/nastavenia/sukromie.
Ak nechceš vidieť toto okno, ak nás navštívíš z iného zariadenia alebo prehliadača, prihlás sa a tvoje preferencie si zapamätáme.